Demostració De Què 1 + 1 = 2

Espai per humor i altres temes

Moderador: Airald

Respon
Avatar de l’usuari
Randy-650
Presentats
Entrades: 14288
Membre des de: dg. gen. 07, 2007 10:20 pm
Ubicació: ®Randy i Montse¶¶¶¶¶Suzuki Bandit 650 SA¶¶¶¶Castellar del Vallès-B¢n

Demostració De Què 1 + 1 = 2

Entrada Autor: Randy-650 » dc. oct. 31, 2012 7:27 pm

En aquest breu article pretenc demostrar al/la mototurista la veracitat de l'afirmació matemàtica 1+1=2. “Quina ximpleria! Venir-me a demostrar a mi aquesta trivialitat! Ni que fos idiota!” és una reacció típica del lector que ha decidit llegir aquest article, no obstant això tan “trivialitat” no pot ser, ja que si està llegint això ha de tenir certa curiositat, cert “pressentiment” que potser no sigui tan òbvia la qüestió que tenim entre mans.

En efecte, no es tracta d'un assumpte obvi per molt interioritzat que ho tinguem tots des que vam aprendre a sumar en la nostra tendra infància, de la mateixa manera que no és una obvietat, si bé la donem per descomptat contínuament, que en donar a l'interruptor s'encén la llum, que en obrir l'aixeta surt aigua o que en girar la clau del contacte arrenca el cotxe. El fet que aquesta afirmació sigui certa o no ha mantingut ocupat als matemàtics des de fa milers d'anys.

El matemàtic i filòsof Bertrand Russell va demostrar aquesta afirmació en la seva obra “Principia Mathematica” després de 380 pàgines, dada que ens ajuda a fer-nos una idea de la complexitat que s'amaga darrere de tan aparentment innocent afirmació. En la figura s'aprecia la conclusió d'aquesta demostració:

Imatge

Com pregunta dirigida al possible matemàtic expert que llegeixi aquest article disposat a buscar errates i errors volgués indicar-li que el present es tracta d'un text divulgatiu. Bé és sabut que a major divulgació menor rigor, i com la matemàtica és una disciplina basada en el rigor, la labor de la seva divulgació sempre és un assumpte que provoca polèmica entre els entesos en la matèria. El que pretenc amb aquest article és exposar de forma relativament amena la idea essencial que el que a priori sembla obvi, realment no ho és. Molt poques coses són òbvies, i moltes menys ho són en la matemàtica. Per això la matemàtica es basa en la demostració de totes les afirmacions i a formular sempre la pregunta “per què?”. En matemàtiques gens és obvi, si per ventura és “trivial”.


L'assumpte que avui ens concerneix versa sobre matemàtiques. La matemàtica és un camp molt ampli de diferents disciplines depenents les uneixis de les altres. Potser la més coneguda pel comú dels mortals sigui l'aritmètica, usada per tots nosaltres en la vida quotidiana en comprar el pa, verificar els comptes bancaris etc. Però el fet que fem ús d'aquesta eina matemàtica ni des de lluny vol dir que l'entenguem “realment”. Són nombrosos els fenòmens que, sense arribar a comprendre, emprem al nostre favor per suplir les nostres necessitats. Un exemple molt típic és l'ús de l'automòbil; molta gent sap conduir un automòbil, sap mantenir-ho, fins i tot algun s'atreveix a obrir el capó i tocar dins, però la gran majoria dels usuaris d'automòbil no saben “realment” com funciona el motor, com funciona la transmissió, com funciona l'electrònica, la suspensió… i és que no fa falta comprendre fins a l'últim detall per saber treure-li profit a qualsevol enginy humà lloc que en cas contrari estaríem estudiant tota la vida per poder usar un “simple” microones.

El mateix succeeix en la matemàtica. Molta gent sap sumar, restar i fer les operacions bàsiques corrents en la vida quotidiana, no obstant això són pocs els que es paren a pensar en el que ocorre darrere d'aquestes operacions i senten la necessitat d'aprofundir en elles. Fins i tot entre els professionals tècnics que usen la matemàtica constantment a manera d'eina, com els enginyers, l'aplicació de la mateixa segueix sent a “nivell usuari”. L'analogia amb el vehicle podria ser que mentre qualsevol persona normal condueix un automòbil sense saber com funciona, el tècnic pilota un caça supersònic i l'enginyer una nau espacial sense tenir perquè saber com funcionen, però sí saber com s'utilitzen correctament. Així, per molt Càlcul Infinitessimal que sàpiga un enginyer no vol això dir que comprengui les bases de la mateixa manera que les comprèn un matemàtic.

Tornant al nostre assumpte, parem-nos a analitzar l'expressió que avui ens concerneix:

1 + 1 = 2


Sabem que es tracta d'una expressió matemàtica (què serà una expressió matemàtica?) perquè en ella apareixen “nombres” (què serà un nombre?) i apareixen símbols matemàtics més o menys coneguts com “+” i “=”. Sembla evident que l'anterior expressió pretén transmetre certa informació, és una forma de comunicació. Els humans disposem de diferents formes de comunicació (verbal, no verbal..) i de diferents llenguatges de comunicació. El present text està escrit en espanyol, però podria estar escrit en turc o en hebreu sense que això afectés al missatge que es pretén transmetre. La matemàtica fa ús del seu propi llenguatge per transmetre informació: el “llenguatge matemàtic”, que és el llenguatge que s'ha d'aprendre si es desitja transmetre informació d'índole matemàtica de forma eficient.

Com el llenguatge matemàtic es tracta d'un llenguatge, ha d'existir una manera de traducció. Alguna cosa similar a quan traduïm de l'anglès a l'espanyol. El lector podria traduir la nostra expressió de la següent forma: “un de més un és igual a dos”, o de la manera “un i un és dues” o “un amb un fan dues”. Quin és doncs la traducció correcta? “Quina xorrada! Si és tot el mateix!” podria objectar el lector. La resposta és que no, no és el mateix. El llenguatge matemàtic té la peculiaritat que és extremadament precís per evitar tot tipus d'ambigüitats o *malinterpretaciones. En traduir de l'anglès a l'espanyol poden sorgir diferents possibilitats a l'elecció del traductor; fins i tot dos traductors experts poden traduir el mateix text de formes diferents. En matemàtiques això no ocorre, de fet no ha d'ocórrer. Els matemàtics tenen especial cuidat que els seus missatges puguin interpretar-se d'una única manera possible. Si dos matemàtics llegeixen el mateix text matemàtic i ho tradueixen a l'espanyol, ho faran d'exactament la mateixa manera.

Tal és la precisió de l'idioma matemàtic, que expressions que a ulls del lector poc familiaritzat sonen rimbombantes com “si i només si” realment tinguin un significat ben definit. La frase “si i només si” no es tracta doncs d'un adorn que empra el matemàtic *cursi en un afany de dotar al seu text de “superioritat lingüística” sinó que és una frase que en matemàtiques tanca un significat concret. En matemàtiques dir “si” o dir “si i només si” no és el mateix. Tampoc és el mateix dir “un i un és dos” que dir “un de més un és igual a dos”.

Dit això, tornem a la nostra equació. Però què és una equació? Aquesta pregunta pot ser resposta de diferents formes, però una que a la meva semblar és senzilla i correcta és “Una equació és l'expressió matemàtica d'una condició d'igualtat”. Existeixen moltes condicions d'igualtat que no són equacions, per exemple la condició que li va imposar la núvia al nuvi per casar-se amb ell “em casaré amb tu si t'embaladeix l'aroma dels narcíss en les nits de *plenilunio”. Si bé es tracta certament d'una condició molt noble, no es tracta d'una condició matemàtica. Les expressions matemàtiques es constitueixen a força d'objectes matemàtics, aquests objectes al seu torn són de molts tipus i formes: operadors, símbols, nombres, matrius, conjunts etc. Així doncs una equació matemàtica estableix la igualtat entre dos objectes (o conjunts d'objectes) agrupats a cada costat d'un símbol que es denota “=” i indica “igualtat”. En matemàtiques dos objectes són considerats iguals si són el mateix objecte ("doncs clar, gens nou sota el sol!"... paciència fins al següent paràgraf). Els objectes que s'agrupen a cada costat del símbol “=” constitueixen els membres de l'equació, així una equació està formada per un membre esquerre (tot el que està abans de el “=”) que se suposa igual a un membre dret (tot el que ve després de el “=”).

Aquí podríem parar-nos a pensar “si en matemàtiques tot està tan ben definit, llavors gens pot ser igual a res que no sigui allò mateix expressat d'exactament la mateixa forma” o dit d'una altra manera, un podria concloure que les úniques equacions “ben definides” són aquelles en què tots dos membres són exactament la mateixa cosa expressada de la mateixa manera, per exemple, l'expressió “ 4 + 1 = 4 + 1 “ té sentit segons el que entenem per igualtat en el llenguatge comú, i l'expressió “ 4 + 1 = 5 “ no té sentit, ja que el membre esquerre és un conjunt d'objectes diferent del membre dret, una cosa és l'expressió matemàtica “4 + 1” i una altra cosa diferent és l'expressió “5”, com poden ser iguals, si no són iguals?.

Amb aquest pensament, vital per comprendre tot el que ve després, entrem en la distinció fonamental entre “objecte matemàtic” i “representació de l'objecte matemàtic”. Els objectes matemàtics són “ens” que han de ser representats d'alguna manera per a un poder referir-se a ells i/o per fer-los accessibles a la vista (o fins i tot al so en el llenguatge verbal). Com a analogia, pensem en les persones. Cadascun de nosaltres tenim un nom diferent, un nom que ens identifica i ens “representa”, però nosaltres NO SOM aquest nom. Si ens canviessin el nom seguiríem sent EL MATEIX, si es vol seguiríem conservant el mateix “ànima”. Cada dia ens vestim de forma diferent i seguim sent EL MATEIX, fins i tot si en un accident perdéssim un braç seguiríem sent la mateixa “persona”. Amb els objectes matemàtics succeeix això mateix.


Un objecte matemàtic pot ser “representat”, “fet símbols”, “dibuixat”, “plasmat sobre el paper”, “visualitzat”… de molt diferents formes. L'objecte matemàtic que denotem per “2” pot representar-se de múltiples formes, podríem representar-ho amb dues *rayias “ I I “, o amb dos punts “ • • “ o de qualsevol forma que se'ns ocorregués mentre existís un conveni perquè tothom entengués el que vol dir la nostra representació. Si de cop i volta tots els matemàtics del món es posessin d'acord a oblidar el símbol "2" per sempre i substituir-ho per “₮”, no passaria absolutament gens. L'important dels objectes matemàtics no és la seva representació, sinó el que els objectes SÓN. Així que el que una equació matemàtica estableix és que dos objectes matemàtics que s'han representat de diferent forma representen al mateix “ens”. Dit breument, diferents representacions però mateix objecte o ens. Una equació matemàtica estableix així l'equivalència entre les infinites formes de representació que disposa cada objecte matemàtic. Seria l'equivalent de comparar dues fotografies de la mateixa persona en diferents èpoques, amb diferent roba, diferent pentinat, diferent quantitat de greix corporal… per intentar determinar si es tracta o no de la mateixa “persona”.

Hem parlat del que els objectes “són”, però com sabem el que són? Doncs de la mateixa manera que sabem el que són les persones. Cadascun de nosaltres ens caracteritzem per tenir diferent comportament enfront de la mateixa situació, per posseir diferents qualitats, diferents manques… El conjunt de totes les propietats que posseeix una persona defineix unívocament a aquesta persona. Potser existeixin moltes persones al món que els agradi el gelat, però no tantes que a més els agradi jugar al tennis, i menys de les quals a més s'interessen en la política, i encara menys de les quals a més saben parlar anglès, polonès i japonès… A força de definir totes les propietats anem reduint el rang de possibles persones que concorden amb la descripció fins a definir a única persona. Aquest principi s'aplica igual als objectes matemàtics; som capaços d'identificar un objecte mitjançant el conjunt de propietats que verifica aquest objecte. Això és, si un objecte matemàtic A verifica les propietats P1, P2, P3 i P4 i només aquestes propietats, i un altre objecto B verifica també solament les propietats P1, P2, P3 i P4, llavors concloem que SÓN el mateix objecte i ho denotem per A=B. Com a exemple, l'ens que representem per “2” té la propietat que és un “nombre natural”, a més és un nombre natural “parell” i a més és un nombre “primer”. A més és l'únic ens matemàtic que compleix aquestes tres propietats alhora. Tots els objectes matemàtics diferents són “únics” o “especials” perquè posseeixen un conjunt de propietats que no posseeix cap altre objecte. Si un dia un matemàtic se'ns apropa i ens diu “mira que objecto tan *guay he descobert, ho represento pel símbol “₪₵₰” i posseeix la propietat que és un nombre natural, parell i a més primer” a l'instant hauríem de saltar acusant-ho de *impostor, ja que l'única cosa que hauria fet aquest *estafador seria representar a “2” de diferent forma i intentar vendre'ns-ho com un nou ens diferent.

Entendre la diferència entre “ens matemàtic” i “representació d'un ens matemàtic” és fonamental para tot el que ve a continuació.

[Continuarà...] :holacat
Randy-650 l’ha editat per darrera vegada el dia: dc. oct. 31, 2012 7:28 pm, en total s’ha editat 2 vegades.
La Bandy© (lujoisla dixit) ImatgeImatge
Fundador i soci n* 1 Jo no vaig amb BMW®©

Avatar de l’usuari
STELVIO 00
Presentats
Entrades: 6111
Membre des de: dv. gen. 01, 2010 8:48 pm
Ubicació: Barcelona
Contacta:

Re: Demostració De Què 1 + 1 = 2

Entrada Autor: STELVIO 00 » dc. oct. 31, 2012 7:31 pm

:SOS :SOS :SOS :SOS :SOS :SOS

Cal contactar rapidament amb en Randy !!!!!!!!!!!!!!!!! :sonat :sonat
ImatgeImatgeImatge

Avatar de l’usuari
Randy-650
Presentats
Entrades: 14288
Membre des de: dg. gen. 07, 2007 10:20 pm
Ubicació: ®Randy i Montse¶¶¶¶¶Suzuki Bandit 650 SA¶¶¶¶Castellar del Vallès-B¢n

Re: Demostració De Què 1 + 1 = 2

Entrada Autor: Randy-650 » dc. oct. 31, 2012 7:38 pm

[quote user="STELVIO 00" post="217449"]

Cal contactar rapidament amb en Randy !!!!!!!!!!!!!!!!! :sonat :sonat[/quote]

No cal, home, no cal. :cat_vergonya


Imatge
La Bandy© (lujoisla dixit) ImatgeImatge
Fundador i soci n* 1 Jo no vaig amb BMW®©

Avatar de l’usuari
Storm
Presentats
Entrades: 2594
Membre des de: dj. oct. 04, 2007 3:48 pm
Ubicació: Sant Llorenç d'Hortons

Re: Demostració De Què 1 + 1 = 2

Entrada Autor: Storm » dc. oct. 31, 2012 7:57 pm

Continuarà???
No cal que et prenguis la molèstia, de debò, de tota manera t'estem molt agraïts.
Que fa molts dies que no vas amb moto?

Avatar de l’usuari
STELVIO 00
Presentats
Entrades: 6111
Membre des de: dv. gen. 01, 2010 8:48 pm
Ubicació: Barcelona
Contacta:

Re: Demostració De Què 1 + 1 = 2

Entrada Autor: STELVIO 00 » dc. oct. 31, 2012 7:58 pm

[quote user="Storm" post="217457"]Continuarà???
No cal que et prenguis la molèstia, de debò, de tota manera t'estem molt agraïts.
Que fa molts dies que no vas amb moto?[/quote]

:b9 :b9 :b9 :b9 :b9 :b9 :okcat
ImatgeImatgeImatge

Avatar de l’usuari
Steelman
Presentats
Entrades: 14816
Membre des de: ds. gen. 06, 2007 10:50 am
Ubicació: Reus - CATALUNYA
Contacta:

Re: Demostració De Què 1 + 1 = 2

Entrada Autor: Steelman » dc. oct. 31, 2012 8:08 pm

amb el rei dels gifs animats...i amb tal exposició no m´ha quedat més remei que...


Imatge
Ex ...moltes coses

Avatar de l’usuari
Xavier
Presentats
Entrades: 4399
Membre des de: dv. juny 18, 2010 4:47 pm
Ubicació: Torelló (Osona)

Re: Demostració De Què 1 + 1 = 2

Entrada Autor: Xavier » dc. oct. 31, 2012 9:26 pm

Ep! això és greu. Que no t'has près les pastilles aquest matí?

Avisa quan vulguis posar la segona part amb antelació i procuraré d'acabar de llegir la primera.

Avatar de l’usuari
STELVIO 00
Presentats
Entrades: 6111
Membre des de: dv. gen. 01, 2010 8:48 pm
Ubicació: Barcelona
Contacta:

Re: Demostració De Què 1 + 1 = 2

Entrada Autor: STELVIO 00 » dc. oct. 31, 2012 9:30 pm

[quote user="Xavier" post="217467"]Ep! això és greu. Que no t'has près les pastilles aquest matí?

Avisa quan vulguis posar la segona part amb antelació i procuraré d'acabar de llegir la primera.[/quote]

Acabar ?? :picant :picant

Però si no has passat del enunciat :b9 :b9 :b9 :b9 :holacat
ImatgeImatgeImatge

Avatar de l’usuari
Xavier
Presentats
Entrades: 4399
Membre des de: dv. juny 18, 2010 4:47 pm
Ubicació: Torelló (Osona)

Re: Demostració De Què 1 + 1 = 2

Entrada Autor: Xavier » dc. oct. 31, 2012 9:34 pm

Em coneixes més del què em pensava!

Respon

Torna a “Cerveseta”